Bukti Teorema Ptolemy - Assalamualaikum Kawan memiau, Pada Artikel yang anda baca kali ini dengan judul Bukti Teorema Ptolemy, kami telah mempersiapkan artikel ini dengan baik untuk anda baca dan ambil informasi didalamnya. mudah-mudahan isi postingan Artikel Materi, Artikel Olimpiade, yang kami tulis ini dapat anda pahami. baiklah, selamat membaca.

Judul : Bukti Teorema Ptolemy
link : Bukti Teorema Ptolemy

Bukti Teorema Ptolemy

Tulisan kali ini masih berkaitan dengan tulisan sebelumnya, masih tentang segiempat talibusur (cyclic quadrilateral), pada tulisan sebelumnya kita sudah membuktikan Formula Brahmagupta sementara pada kesempatan kali ini kita akan membuktikan Teorema Ptolemy. 

Teorema Ptolemy ini sangat umum digunakan untuk mencari panjang sisi segiempat talibusur ataupun diagonal dari segiempat tali busur. Beginilah bunyi teorema tersebut:

Misal diketahui segiempat tali busur $ABCD$ seperti pada gambar di bawah ini:

Teorema Ptolemy mengatakan bahwa hasil kali diagonal sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi yang bersebrangan, atau dapat di tulis sebagai berikut:

$$\boxed{BD\times AC=CD\times AB+AD \times BC}$$

atau

$$\boxed{m\times n=ac+bd}$$

BUKTI TEOREMA PTOLEMY (Dengan Aturan Cosinus)

Perhatikan segitiga $ABC$, berdasarkan aturan cosinus kita peroleh:
$n^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos{\alpha}\hspace{2cm}(1)$

Perhatikan segitiga $ACD$, berdasarkan aturan cosinus kita peroleh:

$\begin{align*}n^{2}&= a^{2}+b^{2}-2ab\cos {(180^\circ-\alpha)}\\&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha\hspace{2cm}(2)\end{align*}$

dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh:

$\begin{align*}c^{2}+d^{2}-2cd\cos{\alpha}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos{\alpha}\\c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}&=2(ab+cd)\cos{\alpha}\\ \cos{\alpha}&=\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{2(ab+cd)}\hspace{2cm}(3)\end{align*}$

Sekarang kita substitusi persamaan $(3)$ ke persamaan $(1)$:

$\begin{align*}n^{2}&=c^{2}+d^{2}-2cd\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{2(ab+cd)}\\&=c^{2}+d^{2}-(\frac{c^{3}d+cd^{3}-cda^{2}-cdb^{2}}{ab+cd})\\&=\frac{(c^{2}+d^{2})(ab+cd)-(c^{3}d+cd^{3}-cda^{2}-cdb^{2})}{ab+cd}\\&=\frac{abc^{2}+c^{3}d+abd^{2}+cd^{3}-c^{3}d-cd^{3}+cda^{2}+cdb^{2}}{ab+cd}\\&=\frac{abc^{2}+abd^{2}+cda^{2}+cdb^{2}}{ab+cd}\\&=\frac{(cda^{2}+abc^{2})+(abd^{2}+cdb^{2})}{ab+cd}\\&=\frac{ac(ad+bc)+bd(ad+bc)}{ab+cd}\\&=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}\hspace{2cm}(4)\end{align*}$

Perhatikan segitiga $ABD$, berdasarkan aturan cosinus, diperoleh:
$m^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{\beta}\hspace{2cm}(5)$

Perhatikan segitiga $BCD$, berdasarkan aturan cosinus, diperoleh:
$\begin{align*}m^2&=a^{2}+d^{2}-2ad\cos{(180^\circ-\beta)}\\&=a^{2}+d^{2}+2ad\cos{\beta}\hspace{2cm}(6)\end{align*}$

dari persamaan $(5)$ dan $(6)$ kita peroleh:
$\begin{align*}b^{2}+c^{2}-2bc\cos{\beta}&=a^{2}+d^{2}+2ad\cos{\beta}\\b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}&=2(ad+bc) \cos{\beta}\\  \cos{\beta}&=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}{2(ad+bc)}\hspace{2cm}(7)\end{align*}$

Substitusi persamaan $(7)$ ke persamaan $(5)$:
$\begin{align*}m^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}{2(ad+bc)})\\&=b^{2}+c^{2}-( \frac{b^{3}c+bc^{3}-a^{2}bc-bcd^{2}}{ad+bc})\\&=\frac{(b^{2}+c^{2})(ad+bc)-(b^{3}c+bc^{3}-a^{2}bc-bcd^{2})}{ad+bc} \\&=\frac{b^{3}c+ab^{2}d+bc^{3}+ac^{2}d-b^{3}c-bc^{3}+a^{2}bc+bcd^{2}}{ad+bc}\\&=\frac{ab^{2}d+ac^{2}d+a^{2}bc+bcd^{2}}{ad+bc}\\&=\frac{(a^{2}bc+ac^ab^{2}d)(ac^{2}d+bcd^{2})}{ad+bc}\\&=\frac{ab(ac+bd)+cd(ac+bd)}{ad+bc}\\&=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\hspace{2cm}(8)\end{align*}$

dari persamaan $(4)$ dan $(8)$ kita peroleh:
$\begin{align*}n^{2}\times n^{2}&=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}\times \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\\(nm)^{2}&=(ac+bd)^{2}\\nm&=ac+bd\hspace{2cm}\blacksquare\end{align*}$

Demikianlah Artikel Bukti Teorema Ptolemy

Sekianlah artikel Bukti Teorema Ptolemy kali ini, mudah-mudahan bisa memberi manfaat untuk anda semua. baiklah, sampai jumpa di postingan artikel lainnya.

Anda sekarang membaca artikel Bukti Teorema Ptolemy dengan alamat link https://memiau-kuy.blogspot.com/2017/07/bukti-teorema-ptolemy.html

Tweet